Hugo Nogueira Soares: 2010

RENDAS CERTAS

As rendas certas de termos constantes ou também chamadas séries periódicas uniformes podem ser divididas em séries postecipadas, séries antecipadas e séries diferidas.

As séries postecipadas são aquelas em que os pagamentos ocorrem no fim de cada período e não na origem, por exemplo, pagamentos de fatura de cartão de crédito.

Nas séries antecipadas, os pagamentos são feitos no início de cada período respectivo, por exemplo, financiamentos com pagamento à vista.

Nas séries diferidas, o período de carência constitui-se em um prazo que separa o início da operação do período de pagamento da primeira parcela, por exemplo, promoções do tipo “compre hoje e comece a pagar daqui a x dias”. Nas séries diferidas, quando o primeiro pagamento ocorre no início do primeiro período após o término da carência, chama-se série diferida antecipada; se for no final do primeiro período após o término da carência, chama-se série diferida postecipada.

· Séries Uniformes Postecipadas

Na série postecipada, os pagamentos ocorrem no fim de cada período:

PMT (Valor dos termos da série)

0 1 2 3 4.........................n (número de termos da série)

· Séries Uniformes Antecipadas

Na série antecipada, os pagamentos ocorrem no início de cada período:

PMT

0 1 2 3 4.............................n-1

· Séries Uniformes Diferidas

Série diferida antecipada

PMT

carência

0 k k+1 k+2 k+3..........................k+n

Série diferida postecipada

PMT

carência

0 k k+1 k+2 k+3..................... k+n+1

MONTANTE DAS RENDAS CERTAS, TEMPORÁRIAS DE TERMOS CONSTANTES

Como você deve se lembrar , Montante nada mais é do que a somatória dos juros com o capital principal.

Definimos montante de uma renda certa como a soma dos montantes de seus respectivos termos.

Para saber se estamos diante de uma série do modelo básico, postecipada, ou diante de uma série antecipada, devemos observar o último intervalo da série.

Lembrando, a série é postecipada quando a parcela ocorre no final do intervalo. Em série postecipada o valor futuro ocorre na data do último depósito.

FV Valor Futuro ou Montante

PV Valor Presente

PMT Prestações ou Valor dos depósitos

n Números de Prestações ou Depósitos

i Taxa de Juros

POSTECIPADAS

· Cálculo do valor futuro (FV)

Podemos determinar o montante de séries, basicamente de três maneiras distintas: pelo somatório dos montantes de cada depósito, pela fórmula ou pela calculadora financeira.

Exemplo 1

Uma pessoa deposita mensalmente numa caderneta de poupança programada o valor de $ 5.000,00. Sabendo que o Banco paga juros de 5,5%a.m., quanto possuirá no momento do 5º depósito?

Solução:

PMT = $5.000,00

i = 5,5% a.m.

n = 5 depósitos mensais

FV = $ ?

PMT PMT PMT PMT PMT

0 1 2 3 4 5

a) Pelo somatório do montante de cada depósito

Podemos determinar o montante de uma sucessão de pagamentos, recebimentos ou depósitos através do somatório dos montantes de cada anuidade.

A fórmula para o valor futuro de cada depósito é:

O somatório dos valores futuros é:

b) Pela fórmula

Os fatores que determinam o montante de cada prestação “PMT” mantêm entre si uma progressão geométrica e, por isso, será usada a fórmula do somatório da progressão geométrica.

Denominar-se-á o resultado do somatório da progressão geométrica de FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL de “n” períodos na taxa “i”:

Este fator pode ser encontrado na tabela financeira.

Podemos calcular o montante, multiplicando o depósito pelo valor do fator acima encontrado.

Desta maneira a fórmula ficará:

Exemplo 2 (Roberto pg. 276 Problema Proposto 1)

Determinar o montante ou capital acumulado pelo depósito periódico postecipado (periodicidade dada abaixo juntamente com a taxa de juros compostos) de R$ 1.000,00 em um Fundo de Renda Fixa, durante 3 anos:

Depósito Taxa

(a) Mensal 3,5% a. m.

(b) Trimestral 28% a. a. capitalizada trimestralmente

(d) Bimestral 3% a.m.

Solução:

PMT = $1.000,00

Duração = 3 anos

(a) n = 3

12 = 36 depósitos mensais

i = 3,5%a.m

(b) n = 3

4 = 12 depósitos trimestrais

i =

= 7% a.t.

2 = 6 depósitos semestrais

i = 21% a.a. =

-1= 10% a.s.

(d) n = 3

6 = 18 depósitos bimestrais

i = 3% a.m. =

-1= 6,09% a.b.

· Cálculo do valor do depósito (PMT)

O valor das prestações também pode ser calculado a partir do montante de anuidades,

apenas posicionando antes da igualdade o PMT que é a representação do valor do depósito.

Exemplo (Roberto pg. 278 Problema Proposto 6)

Quanto um poupador deverá depositar ao fim de cada trimestre durante 3 (três) anos para formar um capital acumulado de R$ 100.000,00 ao término desse prazo, recebendo uma taxa de 18% a.a. capitalizada trimestralmente?

a) R$ 8.333,33

b) R$ 6.466,62

c) R$ 2.862,78

d) R$27.992,39

e) R$ 6.569,91

Solução:

FV = $100.000,00

i =

= 4,5% a.t.

n = 3

4 = 12 depósitos trimestrais

PMT = $ ?

Resposta: Letra (b) 6.466,62

· Cálculo da taxa (i)

Como se tem dificuldade em determinar a taxa, pode-se encontrá-la pela interpolação, pela tentativa e erro e / ou pela calculadora financeira.

Exemplo

Uma pessoa deposita mensalmente $5.000,00 numa caderneta de poupança e, no momento do 5º depósito, seu saldo era de $28.753,70. Determinar a taxa de juros paga pelo banco.

Solução:

FV = $28.753,70

PMT = $5.000,00

n = 5 depósitos mensais

i = ? %a.m.

Neste caso, procurando na tabela financeira, temos

= 5,750739, ou seja i = 7% a.m., que é uma diferença com a qual não nos preocuparemos.

· Cálculo da quantidade de depósito (n)

Podemos determinar a quantidade de depósitos pela fórmula:

Exemplo

Quantos depósitos mensais de $5.000,00 deverão realizar uma pessoa para que tenha no ato do último depósito o saldo de $27.905,46, recebendo uma taxa de 5,5% a.m.?

Solução:

FV = $27.905,46

PMT = $5.000,00

I = 5,5% a.m.

n = ? depósitos mensais

Usando a tabela financeira, encontramos que n é, aproximadamente 5 depósitos, utilizando o fator como

= 5,581091026.

Se não encontrar um valor aproximado na tabela financeira pode ser utilizado o logaritmo:

Vamos agora utilizar o logaritmo:

Utilizando uma das propriedades do logaritmo, teremos:

n = 5 depósitos mensais

ANTECIPADAS

É uma série antecipada relativa ao montante quando o último depósito da série ocorrer um intervalo antes do momento em que queremos saber ou sabemos, o montante. Diagrama:

PMT PMT PMT ... PMT

0 1 2 ... n-1 n

· Cálculo do valor futuro (FV)

Para calcular o montante utilizaremos a seguinte fórmula:

Exemplo

Determinar o montante ou capital acumulado pelo depósito periódico antecipado (periodicidade dada abaixo juntamente com a taxa de juros compostos) de R$ 1.000,00 em um Fundo de Renda Fixa, durante 3 anos, com depósitos antecipados:

Depósito Taxa

(a) Mensal 3,5% a. m.

(b) Trimestral 28% a. a. capitalizada trimestralmente

(d) Bimestral 3% a.m.

Solução:

PMT = $1.000,00

Duração = 3 anos

(a) n = 3

12 = 36 depósitos mensais

i = 3,5%a.m

(b) n = 3

4 = 12 depósitos trimestrais i =

= 7% a.t.

(c) n = 3

2 = 6 depósitos semestrais

i = 21% a.a. =

-1= 10% a.s.

(d) n = 3

6 = 18 depósitos bimestrais

i = 3% a.m. =

-1= 6,09% a.s.

DIFERIDAS

Para o montante, carência não existe antes dos depósitos; se considerarmos alguma carência, esta deverá ser após o último depósito. Sabemos que, quando não temos valor depositado, não recebemos juros, por este motivo a afirmação acima.

Assim, quando queremos saber um montante mais de um intervalo após o último depósito, calculamos o montante da série e depois o montante por capitalização composta.

Fórmula para o montante da renda diferida de termos postecipados:

PMT PMT ... PMT FV=?

0 1 2 ... n n+k

Onde: n = número de termos

k = diferimento ou prazo de carência

Exemplo

Uma pessoa efetua 8 depósitos mensais de $ 20.000,00, recebendo uma taxa de 10%a.m. de juros. Quanto terá esta pessoa 4 meses após o último depósito?

Solução:

PMT = $ 20.000,00

i = 10% a.m.

n = 8 depósitos mensais

k = 4 meses de carência

FV = ?

Fórmula para o montante da renda certa diferida de termos antecipados:

PMT PMT ... PMT FV=?

0 1 ... n-1 n n+k

Onde: n = número de termos

k = diferimento ou prazo de carência

Obs. Usar o exemplo anterior sendo antecipado.

SÉRIES FINITAS DE PAGAMENTOS POSTECIPADAS, ANTECIPADAS E DIFERIDAS: VALOR ATUAL. SÉRIES INFINITAS (OU POSTECIPADAS)

VALOR ATUAL

Valor Atual ou Valor Presente das Rendas Certas pode ser definido como a soma dos valores atuais dos seus respectivos termos.

POSTECIPADAS

· Cálculo do valor presente (PV)

Para determinarmos o valor atual de uma sucessão de pagamentos ou recebimentos, somamos o valor atual do desconto racional composto de cada parcela da série

Podemos determinar o valor atual de séries, também de três maneiras distintas: pelo somatório dos valores atuais de cada depósito, pela fórmula ou pela calculadora financeira.

Exemplo

Determinar o valor, a vista, de uma série de 6 prestações (títulos) de $20.000,00, vencíveis mensalmente, a partir do 1º mês, sabendo que a taxa é de 5% a.m.

Solução:

PMT = $ 20.000,00

i = 5% a.m.

n = 6 depósitos mensais

PV= ?

PV=? PMT PMT PMT PMT PMT PMT

0 1 2 3 4 5 6

a) Pelo somatório dos valores atuais de cada depósito

Partindo da fórmula do desconto racional composto, temos:

Onde o “n” será substituído pelo número correspondente à prestação, da seguinte maneira: na primeira prestação “n” será 1, na segunda “n” será 2 e assim por diante.

O FV, quando queremos calcular o valor atual de uma série de pagamentos, será o valor de cada prestação.

O somatório dos valores atuais é:

b) Pela fórmula

O resultado do somatório da progressão geométrica passaremos a denominar de FATOR DE VALOR ATUAL de “n” períodos na taxa “i”:

Esse fator pode ser encontrado na tabela financeira.

Podemos calcular o valor atual, multiplicando o depósito pelo valor do fator acima encontrado.

Desta maneira a fórmula ficará

ANTECIPADAS

A série é antecipada em relação ao valor atual quando a primeira parcela ocorrer na data zero, de entrada, sendo esta entrada de mesmo valor das demais parcelas. Diagrama:

PMT PMT PMT PMT ... PMT

0 1 2 3 ... n-1 n

· Cálculo do valor presente (PV)

Para calcular o valor atual utilizaremos a seguinte fórmula:

Exemplo

Determinar o valor, a vista, de uma série de 6 prestações (títulos) de $20.000,00, vencíveis mensalmente, sendo a primeira no ato da compra, sabendo que a taxa é de 5% a.m.

Solução:

PMT = $ 20.000,00

i = 5% a.m.

n = 6 depósitos mensais

PV= ?

DIFERIDAS

Séries diferidas antecipadas em relação a um valor atual são aquelas em que a primeira parcela vence juntamente com a carência, enquanto séries postecipadas são aquelas em que a primeira parcela vence um período após a carência.

Fórmula para o valor atual da renda diferida de termos postecipados:

PV=? ... PMT PMT ... PMT

0 1 2 ... k k+1 k+2 ... k+n

Onde: n = número de termos

k = diferimento ou prazo de carência

Exemplo

Aproveitando a promoção comercial: “Compre hoje e somente comece a pagar depois de 4 meses”, uma pessoa adquire uma mercadoria mediante 6 prestações mensais e iguais a R$ 1.200,00, vencendo a primeira prestação 30 dias após o vencimento da carência. Considerando que há no mercado de capitais uma taxa de juros compostos de 4,5%a.m., qual o valor máximo que estaríamos dispostos a pagar à vista pela referida mercadoria?

Solução:

PMT = R$ 1.200,00

i = 4,5% a.m.

n = 6 depósitos mensais

k = 4 meses de carência

PV = ?

Fórmula para o valor atual da renda certa diferida de termos antecipados:

PV=? ... PMT PMT PMT ... PMT

0 1 2 ... k k+1 k+2 ... (k+n-1) k+n

Onde: n = número de termos

k = diferimento ou prazo de carência

VALOR ATUAL DAS RENDAS CERTAS PERPETUA

As séries perpétuas são aquelas cujo prazo é ilimitado, não tem previsão de terminar. Não podemos calcular o montante da série perpétua por não termos a quantidade de prestações definidas.

Para uma renda certa perpétua, imediata e postecipada, seu valor presente será:

PMT PMT PMT ...

0 1 2 3 ...

Exemplo

Uma residência foi alugada por $350,00 mensais. Se a taxa de melhor aplicação no mercado financeiro paga juros de 2,3% a.m., qual seria o provável preço do imóvel?

Solução:

PMT = $ 350,00

i = 2,3% a.m.

PV = ?

PV = 15.217,39

Para uma renda certa perpétua, imediata e antecipada, seu valor presente será:

PMT PMT PMT PMT ...

0 1 2 3 ...

Para uma renda certa perpétua, diferida e postecipada, seu valor presente será:

PV=? PMT PMT PMT ...

0 k k+1 k+2 k+3 ...

Exemplo

Uma jazida de ouro, com reservas para exploração por mais de cem anos, produz lucros médios de $4.000.000/ano. Calcular o valor da mina, considerando que nos próximos dois anos a mina não operará por motivos de renovação de equipamentos. O custo de oportunidade do capital é de 15%a.a.

Solução:

PMT = $ 4.000.000

i = 15 % a.a.

k = 2 anos de carência

PV = ?

PV = 20.163.831,13

Para uma renda certa perpétua, diferida e antecipada, seu valor presente será:

PV=? PMT PMT PMT PMT ...

0 k k+1 k+2 k+3 ...

Exemplo

Uma sociedade de beneficência pública ganhou de um mecenas uma doação de $25.000/ano em forma indefinida, recebidos no início de cada ano depois de transcorridos dois anos contados a partir da data da doação. A juros de 15% a.a., calcular o valor presente dessa doação.

Solução:

PMT = $ 25.000

i = 15 % a.a.

k = 2 anos de carência

PV = ?

PV = 144.927,54

EXEMPLOS DE APLICAÇÃO

Exemplo 01

Calcular o valor atual ou presente de uma seqüência de depósitos periódicos (periodicidade fornecida abaixo juntamente com a taxa de juros), postecipados, de R$ 10.000,00, durante 2 (dois) anos:

Depósito Taxa

(a) Mensal 4% a. m.

(b) Bimestral 30% a. a. capitalizada bimestralmente

(d) Quadrimestral 33,1% a.a.

Solução:

PMT = $10.000,00

Duração = 2 anos

(a) n = 2

12 = 24 depósitos mensais

i = 4 %a.m